MANUEL COMPLET DE L'ENSEIGNEMENT UNIVERSEL OU APPLICATION DE LA MÉTHODE JACOTOT

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La théorie des proportions se rduit évidemment à une addition, puisque les équidifférences ne se conçoivent que par cette opération, que l'on fait pour s'assurer de l'égalité de deux rapports dont l'assemblage constitue la proportion. une marche analogue est suivie dans les proportions apr quotient. C'est donctoujours de l'addition faite de différens nombres entre eux que sortent tous les calculs que nous présente cette théorie. Les progressions ne sont de même que des additions, puisqu'elles reposent entièrement sur les proportions, dont l'usage est continuel dans toute cette partie de l'arithmétique.

Les logarithmes, qui ne sont que les résultats des progressions, sont susceptibles du même raisonnement. Nous voyons donc l'addition se reproduire partout, sous différentes formes. Nous avons remarqué que c'est à elle que se réduisaient toutes les opérations faites sur les nombres; que ces derniers eux-mêmes n'en étaient au le résultat. C'est donc de ce calcul simple et facile que sort totue l'arithmétique; c'est sur lui que reposent toutes les théories dont elle est formée, même celles qui, au premier abord, semblent n'avoir avec lui aucune connexité: A+B=C, telle est donc la formule générale qui comprend totue l'arithmétique.


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Comparaison de la division avec la règle de trois.

la division arithmétique et la règle de trois n'ont aucun rapport immédiat; cependant, l'esprit d el'homme qui fait ces deux opérations est toujours le même, et il est facile de se rendre compte que la marche suivie dans l'une et dans l'autre est celle que l'on suit, en général, dans toutes les mathématiques.

On est conduit à la division et à la règle de trois par une question qu'on  se propose; d'un côté, on ne connait encore que trois opérations; de l'autre on a à sa disposition la plus grande aprtie de l'arithmétique. Ainsi les calculs ne doivent pas être de la même nature; mais cela ne fait rien à la marche à suivre.

Nus voyons que l'on suppose d'abord le problème résolu: d'une part, on a deux facteurs et leur produit; de l'autre on a quatre nombres en proportion; et cette idée vient naturellement à l'esprit de celui qui cherche: ' Entre ces auqtre quantités, ainsi liées, aucune n'est arbitraire. Si l'une d'elles était seule inconnue, on devrait donc la retrouver au moyen du rapport nécessaire qu'elle doit avoir avec les autres."

Tel est le raisonnement simple que reproduit sans cesse le mathmaticien, et c'est ce raisonnement qui le met sur la voie; il part d'un point connu; puis il transforme, en profitant de toutes ses remarques antérieures.

Ainsi, pour faire une division, on reproduit dans un ordre inverse les calculs de la multiplication. pour résoudre une règle de trois, on a reconnu que le moyen le plus court reposait sur cette propriété, qui sert souvent à former des proportions, savoir: que le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

Quant à la manière dont celui qui veut donner une leçon décrit le procédé de la division et celui de la règle de trois, elle est encore la même. Il énonce d'abord son but, il montre de quelle manière la question se rattache aux connaissances déjà acquises; puis il prend des exemples pour développer la manière de trouver le quotient, d'après la supposition que le dividende a été formé par le produit du diviseur par ce quotient, ainsi que le moyen de déterminer le troisième terme, en supposant que le produit des moyens ait été formé avec celui du nombre à trouver par l'extrême connu. Enfin, l'homme cherchant à tirer parti de ce qu'il vient d'apprendre, examine successivement les cas particuliers que présentent les deux opérations qu'il vient d'exécuter; il ramène encore  tout à ce qu'il sait, et reconnait que quand on peut faire une division par un nombre d'un seul chiffre, on peut faire une division quelconque. Et que quand on sait faire une règle de trois simple, on peut en faire une composée. tel est l'esprit qui préside, en général, à toutes les sciences.